Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.
POR QUE NOS ATRAEN LOS FRACTALES
Belleza
Las personas encuentran belleza en, por ejemplo, una imagen a color del fractal de Mandelbrot. En éste,
como en los demás fractales, se puede entender, únicamente mirando, que en la imagen hay un debate
intenso entre orden y desorden, entre armonía y arbitrariedad, entre simetrías y repeticiones, asimetrías
y discontinuos. Alguien que lo vea por primera vez pensará en el Art Nouveau, en la sicodelia de los 60
y 70, en una mola Sinú, un mandala, un telar Huichol o en un batik africano, y difícilmente se le ocurrirá
que detrás de este derroche de color y formas abigarradas exista una pequeña fórmula matemática que
lo genera.
Al abrir un libro de fractales, hojear y ojear sus páginas, y ver varios tipos de fractales representados (ojala
el libro contenga varias ilustraciones a color) vemos que hay muchos tipos de fractales, muy distintos entre
sí y a la vez con algo en común difícil de determinar. Los fractales tienen un gran imaginario, un universo
visual inagotable del que se nutren artistas visuales en creaciones estéticas también diversas. El vasto
imaginario fractal deja difícilmente indiferente.
Pero la belleza de los fractales va más allá de sus representaciones, y quien se deja llevar un poco por la
curiosidad y se pregunta al menos de dónde y cómo surgen estas imágenes se encontrara con otro vasto
universo lleno también de belleza, aunque ésta más conceptual y dinámica.
Inexistencia de autor
A aquellos que fueron seducidos por la representación de uno o varios fractales no deja luego de, al
menos, llamar su atención que no hay un autor humano que se los pueda adjudicar. La mayoría de
representaciones de fractales provienen de impresiones digitales. Y las imágenes digitales no fueron
trabajadas con herramientas de diseño digital sino que fueron generadas por un algoritmo, un pequeño
código. Este código, a su vez, repite un proceso que probablemente tenga como núcleo una única y
simple función matemática.
Así que esta infinita confabulación de trazos abigarrados e irrepetidos, esta gestualidad detallada hasta lo
infinitesimal, es, digámoslo así, una obra de arte no cultural, en la medida de que algo así pueda existir. A
partir de aquí se abren debates irresolubles, como el de si las matemáticas son un aspecto de la naturaleza
(dicho de otra forma, son universales) o sí son una construcción cultural. ¿Es el círculo una invención o un
descubrimiento?
Misterio
Es así como el fractal de Mandelbrot (el que algunos matemáticos han bautizado como el objeto
geométrico más complejo que se conozca) se construye a partir de iterar la siguiente función sobre los
números complejos (en la que c0 es un parámetro):
f(c) = c2 + c0
Dejando de lado cuestiones como qué es iterar, qué son los números complejos, qué es una función, llamo
la atención al lector sobre un aspecto bastante más evidente: lo pequeña que es la fórmula, los pocos
caracteres que la conforman, la poca información que parece contener. Y que por supuesto contrasta
brutalmente, misteriosamente también, con la cantidad de información no repetitiva que de hecho
contiene un fractal como el Mandelbrot.
Otros misterios, que señalo más adelante, son consustanciales a la fractalidad.
Color
Un fractal no posee color, en cambio sí una representación suya. Un fractal es, en un sentido estricto,
un conjunto de puntos. Estos puntos sin embargo tienen cada uno propiedades numéricas diferentes y
cuantificables, con lo cual se les puede asignar un color (recuerde que en un computador un color es un
número). Lo interesante es que las propiedades cuantificables de los números se suelen repartir de forma
suave, dando lugar a gamas de color que se expanden bizarramente por el fractal, como flujos de tinta, y
que acentúan su belleza. Por esto se suelen representar los fractales, o una buena parte de ellos, a color.
Espiritualidad
Este es sólo un juego de palabras. Los fractales son espirituales en el sentido que tienen un mundo interior
rico, ya que todo lo interesante de un fractal se devela al entrar en él y comprobar que es efectivamente
inagotable en sus formas, no importa que tanto nos adentremos. Nietzsche sentenció que algunos espíritus
enturbian sus aguas para hacerlas parecer más profundas. Esto no le ocurre a un fractal, que también a
simple vista se delata turbio, pero que posee profundidad sin fin.
Infinitud
Lo tremendo de un fractal ocurre hacia adentro. En los fractales autosemejantes el viaje hacia adentro se
vuelve repetitivo aunque no por ello exento de magia: se observa como los ladrillos que construyen el
objeto geométrico son en sí mismo el objeto geométrico. Se trata entonces de un objeto hecho de varios
sí mismos, que a su vez están hechos de él mismo... etcétera...
En los fractales no autosemejantes lo impresionante es lo contrario: que conforme se aumenta la escala
en torno a alguno de sus puntos se observan nuevas e irrepetidas formas. Y esta creatividad no desparece
sin importar qué tan profundo naveguemos. En el caso de Mandelbrot se pueden encontrar infinitas
pequeñas copias parecidas al fractal entero, pero nunca iguales. Nunca nada es igual en alguna parte
del fractal y en cierta escala que en otro parte o escala. Es un objeto rebosante de formas infinitamente
irrepetidas.
Si hacemos un zoom que nos muestre una décima parte del fractal y repetimos este proceso 9 veces
llegamos a una región de superficie 109 veces más pequeña que la original, o, visto de otra forma, se
trata de una entre 109 regiones que conforman el fractal. Este número, mayor a la población humana es
tal que podemos estar seguros que nadie nunca ha visto esta región particular del fractal, y nadie nunca
la volverá a ver. Es así como podemos pedirle a un fractal, una y otra vez, que nos muestre formas bellas
nunca antes vistas por nadie.
(En internet se pueden encontrar fácilmente programas que permiten hacer viajes al interior de fractales,
por ejemplo: Xaos http://xaos.sourceforge.net/english.php
Diversidad
El imaginario fractal es inmenso. Programas muy populares como FRACTINT , que exhiben
una galería inmensa de fractales, y muchos programadores, han descubierto nuevas formas de representar
nuevos o viejos fractales. Basta asomarse a internet para ver fractales diferentes hasta el agotamiento.
Rebeldía
Cuando los fractales comenzaron a aparecer en el mundo de las matemáticas faltaba mucho tiempo para
que existieran formas de representarlos gráficamente. Inicialmente fueron construcciones creadas para
demostrar la existencia de conjuntos que cumplían propiedades que desafiaban la intuición (como el
conjunto de Cantor que es un conjunto cerrado perfecto en el que todos sus puntos son frontera). Los
fractales son entonces objetos geométricos que rompen las reglas y llenan de insensatez la geometría.
En la visión matemática decimonónica positivista, en el que el mundo es como un gran reloj rebosante de
perfección no cabían estos desperfectos, duendes, contraejemplos molestos, que al rato fueron tildados
de monstruos.
Monstruosidad
Fue así como los fractales fueron tempranamente denominados monstruos, monstruos matemáticos.
Debido a su manía de causar "estragos" a la intuición y por la dificultad de establecer una imagen mental
de ellos (recuerde que los matemáticos trabajaban con ellos antes de que se pudieran ilustrar parcialmente,
antes de los computadores). Una de las más bellas familias de fractales fue definida y estudiada por Gastón
Julia, de quien tomó el nombre. Julia murió antes de poder ver sus fractales generados en computador.
POR QUE NOS ATRAEN LOS FRACTALES
Belleza
Las personas encuentran belleza en, por ejemplo, una imagen a color del fractal de Mandelbrot. En éste,
como en los demás fractales, se puede entender, únicamente mirando, que en la imagen hay un debate
intenso entre orden y desorden, entre armonía y arbitrariedad, entre simetrías y repeticiones, asimetrías
y discontinuos. Alguien que lo vea por primera vez pensará en el Art Nouveau, en la sicodelia de los 60
y 70, en una mola Sinú, un mandala, un telar Huichol o en un batik africano, y difícilmente se le ocurrirá
que detrás de este derroche de color y formas abigarradas exista una pequeña fórmula matemática que
lo genera.
Al abrir un libro de fractales, hojear y ojear sus páginas, y ver varios tipos de fractales representados (ojala
el libro contenga varias ilustraciones a color) vemos que hay muchos tipos de fractales, muy distintos entre
sí y a la vez con algo en común difícil de determinar. Los fractales tienen un gran imaginario, un universo
visual inagotable del que se nutren artistas visuales en creaciones estéticas también diversas. El vasto
imaginario fractal deja difícilmente indiferente.
Pero la belleza de los fractales va más allá de sus representaciones, y quien se deja llevar un poco por la
curiosidad y se pregunta al menos de dónde y cómo surgen estas imágenes se encontrara con otro vasto
universo lleno también de belleza, aunque ésta más conceptual y dinámica.
Inexistencia de autor
A aquellos que fueron seducidos por la representación de uno o varios fractales no deja luego de, al
menos, llamar su atención que no hay un autor humano que se los pueda adjudicar. La mayoría de
representaciones de fractales provienen de impresiones digitales. Y las imágenes digitales no fueron
trabajadas con herramientas de diseño digital sino que fueron generadas por un algoritmo, un pequeño
código. Este código, a su vez, repite un proceso que probablemente tenga como núcleo una única y
simple función matemática.
Así que esta infinita confabulación de trazos abigarrados e irrepetidos, esta gestualidad detallada hasta lo
infinitesimal, es, digámoslo así, una obra de arte no cultural, en la medida de que algo así pueda existir. A
partir de aquí se abren debates irresolubles, como el de si las matemáticas son un aspecto de la naturaleza
(dicho de otra forma, son universales) o sí son una construcción cultural. ¿Es el círculo una invención o un
descubrimiento?
Misterio
Es así como el fractal de Mandelbrot (el que algunos matemáticos han bautizado como el objeto
geométrico más complejo que se conozca) se construye a partir de iterar la siguiente función sobre los
números complejos (en la que c0 es un parámetro):
f(c) = c2 + c0
Dejando de lado cuestiones como qué es iterar, qué son los números complejos, qué es una función, llamo
la atención al lector sobre un aspecto bastante más evidente: lo pequeña que es la fórmula, los pocos
caracteres que la conforman, la poca información que parece contener. Y que por supuesto contrasta
brutalmente, misteriosamente también, con la cantidad de información no repetitiva que de hecho
contiene un fractal como el Mandelbrot.
Otros misterios, que señalo más adelante, son consustanciales a la fractalidad.
Color
Un fractal no posee color, en cambio sí una representación suya. Un fractal es, en un sentido estricto,
un conjunto de puntos. Estos puntos sin embargo tienen cada uno propiedades numéricas diferentes y
cuantificables, con lo cual se les puede asignar un color (recuerde que en un computador un color es un
número). Lo interesante es que las propiedades cuantificables de los números se suelen repartir de forma
suave, dando lugar a gamas de color que se expanden bizarramente por el fractal, como flujos de tinta, y
que acentúan su belleza. Por esto se suelen representar los fractales, o una buena parte de ellos, a color.
Espiritualidad
Este es sólo un juego de palabras. Los fractales son espirituales en el sentido que tienen un mundo interior
rico, ya que todo lo interesante de un fractal se devela al entrar en él y comprobar que es efectivamente
inagotable en sus formas, no importa que tanto nos adentremos. Nietzsche sentenció que algunos espíritus
enturbian sus aguas para hacerlas parecer más profundas. Esto no le ocurre a un fractal, que también a
simple vista se delata turbio, pero que posee profundidad sin fin.
Infinitud
Lo tremendo de un fractal ocurre hacia adentro. En los fractales autosemejantes el viaje hacia adentro se
vuelve repetitivo aunque no por ello exento de magia: se observa como los ladrillos que construyen el
objeto geométrico son en sí mismo el objeto geométrico. Se trata entonces de un objeto hecho de varios
sí mismos, que a su vez están hechos de él mismo... etcétera...
En los fractales no autosemejantes lo impresionante es lo contrario: que conforme se aumenta la escala
en torno a alguno de sus puntos se observan nuevas e irrepetidas formas. Y esta creatividad no desparece
sin importar qué tan profundo naveguemos. En el caso de Mandelbrot se pueden encontrar infinitas
pequeñas copias parecidas al fractal entero, pero nunca iguales. Nunca nada es igual en alguna parte
del fractal y en cierta escala que en otro parte o escala. Es un objeto rebosante de formas infinitamente
irrepetidas.
Si hacemos un zoom que nos muestre una décima parte del fractal y repetimos este proceso 9 veces
llegamos a una región de superficie 109 veces más pequeña que la original, o, visto de otra forma, se
trata de una entre 109 regiones que conforman el fractal. Este número, mayor a la población humana es
tal que podemos estar seguros que nadie nunca ha visto esta región particular del fractal, y nadie nunca
la volverá a ver. Es así como podemos pedirle a un fractal, una y otra vez, que nos muestre formas bellas
nunca antes vistas por nadie.
(En internet se pueden encontrar fácilmente programas que permiten hacer viajes al interior de fractales,
por ejemplo: Xaos http://xaos.sourceforge.net/english.php
Diversidad
El imaginario fractal es inmenso. Programas muy populares como FRACTINT , que exhiben
una galería inmensa de fractales, y muchos programadores, han descubierto nuevas formas de representar
nuevos o viejos fractales. Basta asomarse a internet para ver fractales diferentes hasta el agotamiento.
Rebeldía
Cuando los fractales comenzaron a aparecer en el mundo de las matemáticas faltaba mucho tiempo para
que existieran formas de representarlos gráficamente. Inicialmente fueron construcciones creadas para
demostrar la existencia de conjuntos que cumplían propiedades que desafiaban la intuición (como el
conjunto de Cantor que es un conjunto cerrado perfecto en el que todos sus puntos son frontera). Los
fractales son entonces objetos geométricos que rompen las reglas y llenan de insensatez la geometría.
En la visión matemática decimonónica positivista, en el que el mundo es como un gran reloj rebosante de
perfección no cabían estos desperfectos, duendes, contraejemplos molestos, que al rato fueron tildados
de monstruos.
Monstruosidad
Fue así como los fractales fueron tempranamente denominados monstruos, monstruos matemáticos.
Debido a su manía de causar "estragos" a la intuición y por la dificultad de establecer una imagen mental
de ellos (recuerde que los matemáticos trabajaban con ellos antes de que se pudieran ilustrar parcialmente,
antes de los computadores). Una de las más bellas familias de fractales fue definida y estudiada por Gastón
Julia, de quien tomó el nombre. Julia murió antes de poder ver sus fractales generados en computador.
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